Задача швидкодії з двома кінцевими точками для кінематичної моделі БПЛА

Анотація

Ми досліджуємо задачу швидкодії для безпілотного літального апарату (дрону), що рухається у площині на сталій висоті. Розглядається кінематична модель, в якій керуванням є кутова швидкість. Така система описується рівняннями Маркова-Дубінса; розв'язанню різних задач оптимального і допустимого керування і стабілізації для подібних моделей присвячена велика кількість робіт. У статтях [T. Maillot, U. Boscain, J.-P. Gauthier, U. Serres, Lyapunov and minimum-time path planning for drones, J. Dyn. Control Syst., V. 21 (2015)] та [M.A. Lagache, U. Serres, V. Andrieu, Minimal time synthesis for a kinematic drone model, Mathematical Control and Related Fields, V. 7 (2017)] розв'язується задача швидкодії, в якій дрон має досягти заданого одиничного кола за найменший можливий час і залишитись на цьому колі, обертаючись проти годинникової стрілки. У вказаних роботах, зокрема, показано, що в цьому випадку задача спрощується, а саме, стає двовимірною. У даній роботі ми розглядаємо природне узагальнення вказаної постановки: в нашій задачі дрон має досягти заданого одиничного кола за найменший можливий час і залишитись на ньому, але при цьому обидва напрямки обертання є допустимими. Тобто дрон може обертатися за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки, а напрямок обертання обирається з міркувань мінімізації часу руху. Таке переформулювання приводить до задачі оптимальної швидкодії з двома кінцевими точками. У статті ми отримуємо повний розв'язок цієї задачі швидкодії. Зокрема, ми показуємо, що оптимальне керування набуває значень $\pm1$ або $0$ і має не більше двох перемикань. Якщо оптимальне керування є сингулярним, тобто містить ділянку $u=0$, то така ділянка є єдиною, а тривалість останньої ділянки дорівнює $\pi/3$; більш того, в цьому випадку оптимальне керування неєдине, а кінцева точка може бути як $(0,1)$, так і $(0,-1)$. Якщо ж оптимальне керування є несингулярним, тобто набуває значень $\pm1$, то воно єдине (за винятком випадку, коли тривалість останньої ділянки дорівнює $\pi/3$), а оптимальна траєкторія цілком міститься у верхній або в нижній полуплощині. Також ми даємо розв'язок задачі оптимального синтезу.