Блокова форма сингулярного жмутка операторів і метод її отримання

Анотація

Описано блокову форму сингулярного жмутка операторів $\lambda A+B$, де $\lambda$ - комплексний параметр, а лінійні оператори $A$, $B$ діють у скінченновимірних просторах. Жмуток операторів $\lambda A+B$ називається регулярним, якщо $n = m = rk(\lambda A+B)$, де $rk(\lambda A+B)$ - ранг жмутка та $m$, $n$ - розмірності просторів (оператори відображають $n$-мірний простір у $m$-мірний). В інших випадках, тобто якщо $n \ne m$ або $n = m$ та $rk(\lambda A+B)<n$, жмуток називається сингулярним (нерегулярним). Блокова форма (структура) складається з сингулярного блоку, який є суто сингулярним жмутком (тобто від нього неможливо відокремити регулярний блок) і регулярного блоку. У цих блоках виділено нульові блоки та блоки, які є оборотними операторами. Детально описано метод отримання блокової форми сингулярного жмутка операторів у двох спеціальних випадках, коли $rk(\lambda A+B) = m < n$ та $rk(\lambda A+B) = n < m$, і в загальному випадку, коли $rk(\lambda A+B) < n, m$. Надано способи побудови проекторів на підпростори з прямих розкладань, відносно яких жмуток має потрібний блоковий вигляд. За допомогою цих проекторів можна знайти вигляд блоків і, відповідно, блокову форму жмутка. Наведено приклади знаходження блокової форми для різних типів сингулярних жмутків. Для отримання блокової форми, зокрема, використовувалися результати, що стосуються зведення сингулярного жмутка матриць до канонічного квазідіагонального вигляду, який називають канонічною формою Вейєрштрасса-Кронекера. Також використовуються методи лінійної алгебри. Отримана блокова форма жмутка та відповідні проектори можуть бути використані при розв'язанні різноманітних задач. Зокрема, вони можуть бути застосовані для зведення сингулярного напівлінійного диференціально-операторного рівняння до еквівалентної системи із суто диференціальних і суто алгебраїчних рівнянь. Це значно полегшує аналіз та розв'язання диференціально-операторних рівнянь.