Збіжність випадкових блукань на двічі транзитивній групі, породжених її підстановлювальним характером

Анотація

Нехай $P$ - ймовірність на скінченній групі $G$, $U(g)=\frac{1}{|G|}$ - рівномірна (або тривіальна) ймовірність на групі $G$, $P^{(n)}=P *\ldots*P$ - $n$- кратна згортка функції $P$. Добре відомі умови, при яких $P^{(n)}\rightarrow U$ при $n\rightarrow\infty$. Оцінці швидкості цієї збіжності для різних норм присвячено багато робіт. Ми розглядаємо скінченні групи, які мають двічі транзитивне зображення підстановками, і ймовірність, яка природно виникає в цьому зображенні. Ця ймовірність на кожному елементі групи $G$ пропорційна числу нерухомих (або стаціонарних) точок цього елемента, який розглядається як підстановка. Інакше кажучи, ця ймовірність є характером зображення групи $G$ підстановками. Ймовірність називають класовою, якщо вона приймає однакові значення на кожному класі спряжених елементів групи, тобто є функцією класу. Розглядувана ймовірність є класовою, бо будь-який характер групи приймає однакові значення на спряжених елементах. Будь-якій ймовірності (і, взагалі, функції із значеннями у довільному кільці $K$) на групі $G$ можна зіставити елемент групової алгебри $KG$ цієї групи над цим кільцем $K$. Класовій ймовірності відповідає елемент центра цієї групової алгебри, тому класову ймовірність також називають центральною. На абелевій групі будь-яка ймовірність є класовою (центральною).
В роботі розглянута збіжність відносно норми $\|F\|=\sum\limits_{g\in G} |F(g)|$, де $F(g)$ - функція на групі $G$. Для цієї норми дана точна формула (а не просто оцінка, як у переважній більшості робіт) швидкості збіжності згортки $P^{(n)}$ до тривіальної ймовірності $U(g)$ на групі $G$. Виявляється, що норма різниці $\|P^{(n)}-U\|$ визначається порядком групи $G$, її степенем, як групи підстановок, та числом регулярних підстановок у групі $G$. Регулярною називається підстановка, яка не має нерухомих точок. Розглянуто застосування вказаної формули у випадках, коли група $G$ є симетричною, знакозмінною групою, групою Цассенхауза і групою Фробеніуса порядку $p(p-1)$ з ядром Фробеніуса порядку $p$ і доповненням порядку $p-1$ ( $p$ - просте число). Групою Цассенхауза називається двічі транзитивна група підстановок скінченної множини, в якій лише одинична підстановка залишає на місці більше двох елементів цієї множини.