Про побудову неавтономних систем повного рангу з одним керуванням

Анотація

У статті розвинено метод конструювання системи повного рангу, який було запропоновано в роботі [Y.~Kawano, \"{U}.~Kotta, C.H.~Moog. Any dynamical system is fully accessible through one single actuator, and related problems, Intern. J. of Robust and Nonlinear Control, -- 2016. -- 8. V.\textbf{26}. -- P. 1748-1754.]. Задача полягає в наступному: для заданого векторного поля $f(x)$ знайти таке векторне поле $g(x)$, що отримана афінна керована система $\dot x=f(x)+g(x)u$ буде повного рангу. У вищевказаній роботі було показано, що таке $g(x)$ існує в околі точки $x$, якщо $f(x)\not=0$, та було запропоновано метод конструювання $g(x)$. Як основний інструмент було застосовано теорему про випрямлення векторного поля; фактично, випрямляючи векторне поле $f(x)$, ми конструюємо лінійну керовану систему. Проте, було розглянуто тільки випадок дійсно аналітичних векторних полів. В даній роботі ми розглядаємо два узагальнення. По-перше, ми вивчаємо дане питання для векторних полів $f(x)\in C^k$, $1\le k<\infty$. Ми показуємо, що запропонований метод можна застосувати, проте векторне поле $g(x)$, взагалі кажучи, буде належати тільки класу $C^{k-1}$. Ми наводимо приклад векторного поля $f(x)\in C^1$, а саме, $f(x)=(0,1/(1+x_1|x_1|))^T$, для якого метод дає недиференційовне (хоча й неперервне) векторне поле $g(x)$. По-друге, ми розглядаємо випадок, коли $f(x)$ обертається на нуль, та описуємо метод конструювання векторного поля $g(t,x)$, яке, взагалі кажучи, є неавтономним, такого, що система $\dot x=f(x)+g(t,x)u$ є повного рангу. Ми застосовуємо теорему про випрямлення векторного поля, але для розширеної системи, в якій час є додатковою координатою. Ми наводимо приклад лінійного векторного поля $f(x)=(0,x_1)^T$ в околі початку координат, в якому отримане векторне поле є автономним, а саме $g(x)=(1,0)^T$. Також ми наводимо приклад нелінійного векторного поля $f(x)=(x_1^2,x_2)^T$ в околі початку координат; відповідне неавтономне векторне поле має вигляд $g(t,x)=( (x_1t+1)^2, te^t)^T$.