Умова повертання для коливальних систем

Анотація

Дана стаття присвячена задачі нуль-керованості для коливальної лінійної системи $\dot{x}_{2i-1} = x_{2i}, \dot{x}_{2i} = - x_{2i-1} + u$, $i = \overline{1,n}$ з обмеженнями на керування
$u \in [c, 1]$ та $u \in \{c, 1\}$ у випадку, коли початок координат не є точкою рівноваги. Нуль-керованість означає, що існує такий момент часу $T_0$, що для будь-якого часу $T > T_0$
ми можемо досягти початку координат саме за цей час. Критерій керованості в точку, що не є точкою рівноваги, був отриманий В. І. Коробовим і введено нову умову, яка називається умовою повернення на інтервалі,
яка повинна виконуватися разом з класичними умовами керованості в точку рівноваги. Ця умова означає, що існує проміжок часу $I = [T, T + \alpha]$, $\alpha > 0$, для траєкторія з початком в точці $0$ може
повернутись назад в будь-який момент часу $T\in I$.
Метою даної роботи є показати, що умови повернення задовольняються для розглянутої коливальної системи, і отримати аналітичний розв’язок для керування, який розв'язує задачу умови повернення.
Розглянутий підхід передбачає побудову кусково-сталого керування зі значеннями $u = c$ і $u = 1$ і зведення задачі до тригонометричної проблеми моментів.
Ця задача має неєдиний розв'язок, і в нашій статті ми представляємо розв'язок з $2n$ точками перемикання та один лише з двома у випадку, коли $c \le \frac{1}{2}$.
Розв'язок з $2$ моментами перемикання особливо цікавий, оскільки він не залежить від розмірності системи. Ми також узагальнюємо задачу на випадок, коли власні значення
мають вигляд $\lambda_{2j}, \lambda_{2j-1} = \pm \nu_k i$, де $\nu_k$ — раціональні числа. Ми також розглядаємо деякі часткові випадки, коли $c > \frac{1}{2}$
і коли власні значення є ірраціональними.