Неявні лінійні різницеві рівняння над скінченними комутативними кільцями порядку p^2 з одиницею

Анотація

Відомо, що, з точністю до ізоморфізму, існує рівно чотири скінченні комутативні кільця з одиницею, порядок яких дорівнює p², де p - просте число. А саме, цими кільцями є кільце лишків за модулем p², пряма сума двох полів лишків Z_p за модулем p, поле з p² елементів і кільце $\mathcal{S}_p = \mathbb{Z}_p[t]/(t^2)$. Нещодавно було встановлено критерій розв'язності лінійного різницевого рівняння першого порядку над кільцем лишків за модулем $m\ge 2$. З огляду на це, актуальною є задача розв'язання лінійного різницевого рівняння над кільцем $\mathcal{S}_p$ порядку p².

У статті досліджуються неявні лінійні різницеві рівняння першого порядку над кільцем $\mathcal{S}_p$. Встановлено необхідні та достатні умови розв'язності розглянутого рівняння над цим кільцем. Крім того, отримані у статті результати описують як кількість розв'язків у випадку їх існування, так і вигляд загального розв'язку цього рівняння. Аналогічні результати встановлено для відповідної початкової задачі над кільцем $\mathcal{S}_p$. Зокрема, показано, що, на відміну від випадку цілісного кільця, початкова задача над кільцем $\mathcal{S}_p$ може мати нескінченно багато розв'язків. Водночас, якщо вона має скінченну кількість розв'язків, то її розв'язок є єдиним. Також отримано наслідки з одержаного критерію розв'язності розглянутого неявного лінійного різницевого рівняння над кільцем $\mathcal{S}_p$. Зокрема, аналогічно до теорії Фредгольма, показано, що якщо відповідне однорідне рівняння має тільки тривіальний розв'язок, то досліджуване неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок.

У статтi наведено приклад, що демонструє застосування отриманих теоретичних результатiв до розв’язання конкретного рiвняння над кільцем $\mathcal{S}_p$ i вiдповiдної початкової задачi.

Результати роботи можуть бути використані для подальшого вивчення лінійних різницевих рівнянь над скінченними кільцями, а також у загальній теорії дискретних динамічних систем.