Коректність та параболічність крайової задачі для систем диференціальних рівнянь у частинних похідних

Анотація

У роботі досліджується крайова двоточкова задача для систем лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних. Не для будь-якої системи існує коректна двоточкова крайова задача. Так, для рівняння

 $$\displaystyle\frac{\partial u(x_1,x_2,t)}{\partial t}=\displaystyle\frac{\partial u(x_1,x_2,t)}{\partial x_1}+i \frac{\partial u(x_1,x_2,t)}{\partial x_2}$$

не існує крайових умов виду $au(x_1,x_1,0)+bu(x_1,x_2,T)=\varphi(x_1,x_2)$, при яких ця крайова задача буде буде коректна в просторі Л.\,Шварца.

У роботі з'ясовано умови для матриці системи, за яких існують коректні крайові задачі в просторі Л. Шварца, а також вказано вигляд ціх крайових умов. Так для систем з ермітовою матрицею крайова задача з умовами наступного виду $u(x,0)+u(x,T)=\varphi(x)$ завжди буде коректною в просторі Л. Шварца, а також в просторах функцій кінцевої гладкості степеневого зростання.   Для систем з однією просторовою змінною доведено, що завжди існують коректні крайові задачі з умовою $u(x,0)+bu(x,T)=\varphi(x)$ з додатньою $b$. Крім того досліджуються параболічні крайові задачі, властивостью яких є збільшування гладкості розв'язків.

 З'ясовано, що при умові степеневого зростання модуля власних значень матриці системи (тобто $\mathop{\text{Re}}\lambda_j(s)|\geq c|s|^h-b$ з додатними $c$ і $h$) існують параболічні крайові задачі. Наведено приклади коректних та параболічних крайових задач.

Аналогічні результати мають місце для лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних. В якості прикладу розглянуто рівняння Гельмгольця $$\displaystyle\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}+\Delta u(x,t)=k u(x,t)$$, яке не є коректним за Петровським, але для нього існує крайова задача, яка є параболічною. Для рівняння з однією просторовою змінною наведено достатні умови на рівняння другого порядку за часом, при яких існують параболічні крайові задачі.