Неявні лінійні різницеві рівняння над неархімедовими кільцями
Анотація
Над будь-яким полем неявне лінійне різницеве рівняння зводиться до звичайного явного, яке має нескінченно багато розв'язків ~ свій для кожного початкового значення. Цікаво розглянути неявне різницеве рівняння над кільцем, оскільки над будь-яким кільцем випадок неявного рівняння значно відрізняється від випадку явного. Результати щодо різницевих рівнянь над кільцями, що були отримані раніше, здебільшого стосуються кільця цілих чисел і рівнянь першого та другого порядку. У цій статті вивчаються неявні різницеві рівняння високого порядку над деякими іншими класами кілець, зокрема, над кільцем поліномів.
Для вивчення різницевого рівняння над кільцем цілих чисел корисною була ідея розглянути цілі p-адичні числа ~ поповнення кільця цілих чисел щодо неархімедової p-адичної норми. Щоб знаходити розв'язок неявного різницевого рівняння над кільцем поліномів, природним буде розглянути таку ж конструкцію для цього кільця: кільце формальних степеневих рядів, яке є поповненням кільця поліномів щодо неархімедової норми.
Кільце формальних степеневих рядів та кільце цілих p-адичних чисел ~ це окремі випадки кільця нормування щодо неархімедової норми деякого поля: поля рядів Лорана та поля p-адичних раціональних чисел відповідно. У цій статті вивчається неявне лінійне різницеве рівняння над кільцем нормування довільного поля нульової характеристики з неархімедовим нормуванням. Сформульовано достатні умови для єдиності та існування розв'язку. Наведено явну формулу для єдиного розв'язку, яка має вигляд суми ряду, що сходиться за неархімедовою нормою.
Різницеве рівняння відповідає нескінченній системі лінійних рівнянь. Доведено, що у випадку, коли неявне різницеве рівняння має єдиний розв'язок, його можна знайти, використовуючи правило Крамера.
Також у статті наведені деякі результати, що полегшують пошук розв'язку неявного різницевого рівняння над кільцем поліномів.
Завантаження
Посилання
V. A. Gerasimov, S. L. Gefter, A. B. Goncharuk. Application of the p-Adic Topology on ℤ to the Problem of Finding Solutions in Integers of an Implicit Linear Difference Equation, Journal of Mathematical Sciences, ~ 2018. ~ 235. ~ P. 256-261. https://doi.org/10.1007/s10958-018-4072-x
S. Gefter, A. Goncharuk. Generalized backward shift operators on the ring ℤ[[x]], Cramer's rule for infinite linear systems, and p-adic integers. In: A. Bӧttcher, D. Potts, P. Stollmann, D. Wenzel (eds) The Diversity and linebreak Beauty of Applied Operator Theory. Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 268. Birkhӓuser, Cham., ~ 2018. ~ P. 247-259. https://doi.org/10.1007/978-3-319-75996-8_13
S. L. Gefter, V. V. Martseniuk, A. B. Goncharuk, A. L. Piven'. Analogue of the Cramer Rule for an Implicit Linear Second Order Difference Equation Over the Ring of Integers, Journal of Mathematical Sciences, ~ 2020. ~ 244. ~ P. 601-607. https://doi.org/10.1007/s10958-019-04635-w
I. R. Shafarevich. Basic Notions of Algebra. In: A. I. Kostrikin, I. R. Shafarevich (eds) Algebra I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 1990. Springer, Berlin, Heidelberg, 258~p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-39643-8_1
S. Lang. Algebra. 2002. Springer-Verlag, New York, XV+918~p. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0
C. Perez-Garcia, W. H. Schikhof. Locally Convex Spaces over Non-Archimedean Valued Fields. 2010. Cambridge University Press, 472~p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511729959
A. I. Derevianko, S. L. Gefter. Rational Solutions of the Simplest Linear Inhomogeneous Difference Equations, Theoretical and Applied Aspects of Cybernetics, Proceedings of the 5th International Scientific Conference of Students and Young Scientists. 2015. Bukrek, Kyiv. P. 117-122.
Авторське право (c) 2021 Гончарук Анна Борисівна
Цю роботу ліцензовано за Міжнародня ліцензія Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
1. Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі. (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works licence).
2. Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
3. Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
