Швидкість збіжності додаткових ймовірностей на скінченній групі

Анотація

Нехай функція $ P $ є ймовірністю на скінченній групі $ G $, тобто $P(g)\geq 0\ $ \linebreak $(g\in G),\ \sum_{g}P(g)=1$ (ми пишемо $\sum\limits_{g}$ замість
$\sum\limits_{g\in G})$. Згортка двох функцій $ P$, $Q$ на групі $ G $ є $ (P*Q)(h)=\sum\limits_{g}P(g)Q(g^{-1}h)\ \ (h\in G)$. Нехай
$E(g)=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g}g$ є рівномірною (тривіальною) ймовірністю на групі $G$, $P^{(n)}=P*...*P$ ($n$ разів) - $n$ -кратна згортка $P$.
За добре відомої нескладної умови ймовірність $P^{(n)}$ збігається до $E(g)$ при $n\rightarrow\infty$. Багато робіт присвячено оцінці
швидкості цієї збіжності для різних норм.
Будь-яка ймовірність (і, загалом, будь-яка функція зі значеннями в полі $ R $ дійсних чисел) на групі може бути пов'язана з елементом
групової алгебри цієї групи над полем $ R $. Це можна зробити наступним чином.
Нехай $RG$ - групова алгебра скінченної групи $G$ над полем $R$. Ймовірність $P(g)$ на групі $G$ відповідає елементу $p = \sum\limits_{g} P(g)g$
алгебри RG. Ми позначаємо функцію на групі $G$ великою літерою, а відповідний елемент з $RG$ тією ж (але малою) літерою, і останній
називаємо ймовірністю на $RG$. Наприклад, рівномірна ймовірність $E (g)$ відповідає елементу $e=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g}g\in RG.$
Згортка двох функцій $P, Q$ на $G$ відповідає добутку $pq$ відповідних елементів $P, Q$ в груповій алгебрі $RG$. Для натурального числа $n$,
$n$-кратна згортка ймовірності $P$ на $G$ відповідає елементу $p^n \in RG$. У статті ми вивчаємо випадок, коли лінійна комбінація двох
ймовірностей в алгебрі $RG$ дорівнює ймовірності $e\in RG$. Така лінійна комбінація повинна бути опуклою. Точніше, ми співставляємо
ймовірності $p \in RG$ іншу ймовірність $p_1 \in RG$ наступним чином. Дві ймовірності $p, p_1 \in RG$ називаються додатковими, якщо їх опукла
лінійна комбінація дорівнює $e$, тобто $\alpha p + (1- \alpha) p_1 = e$ для деякого числа $\alpha$, $0 <\alpha <1$. Ми знаходимо умови
існування такого $\alpha$ і порівнюємо $\parallel p ^ n-e \parallel$ та $\parallel {p_1} ^ n-e \parallel$ для довільної норми ǁ·ǁ.