Часткова параболічність крайової задачі для псевдодиференціальних рівнянь у шарі

Анотація

У роботі розглядається нелокальна крайова задача для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь у нескінченному шарі. Вводиться поняття частково параболічної крайової задачі, коли розв'язувальна функція експоненціально убуває лише по частині просторових змінних. Це поняття узагальнює поняття параболічної крайової задачі, яке було раніше досліджено одним з авторів даної роботи (Макаровим О.А.) Отримані необхідні та достатні умови на символ псевдодиференціального оператора, при яких існують частково параболічні крайові задачі. Виявилося, що реальна частина символу псевдодиференціальних операторів повинна необмежено зростати степеневим чином за частиною просторових змінних. При цьому вказується конкретний вид крайових умов, які залежать від псевдодиференціального рівняння і також є псевдодифференціальними операторами. Показано, що у розв'язків частково параболічних крайових задач підвищується гладкість розв'язку за частиною просторових змінних. Досліджено також збурене псевдодиференціальне рівняння з символом, що залежить від просторових і часових змінних. Для частково параболічних крайових задач з'ясовано якими псевдодиференціальними операторами можна обурювати вихідне рівняння, щоб дана крайова задача залишалася коректної в просторах Соболєва--Слободецького. Показано також, що хоча властивість підвищення гладкості розв'язків по частині змінних для частково параболічних крайових задач аналогічна властивості розв'язків частково гіпоеліптичних рівнянь, введених Л.Хермандером, але наведені приклади показують, що з часткової гіпоелліптічності рівняння не слідує існування частково параболічної крайової задачі; і навпаки - наведено приклад частково параболічної крайової задачі для диференціального рівняння, що не є частково гіпоелиптічним.