Метод гіперсингулярних інтегральних рівнянь в задачі визначення частот та форм коливань круглої пластинки, зануреної в рідину

Анотація

Для дослідження частот та форм коливань круглої пластинки, що занурена в рідину, розроблено новий підхід, заснований на застосуванні гіперсингулярних інтегральних рівнянь та методу заданих форм. Припускається, що кругла тонка пружна пластина занурена в ідеальну нестисливу рідину, рух якої вважається безвихровим. В цих умовах існує потенціал швидкостей, що задовольняє рівнянню Лапласа всюди за межами пластини, а на поверхні пластини виконується умова непротікання. Тиск рідини визначено з лінеаризованого інтегралу Коші-Лагранжа. При розв’язанні крайової задачі щодо потенціалу швидкостей використано інтегральне зображення у вигляді потенціалу подвійного шару, при цьому густина потенціалу пропорційна перепаду тиску рідини. Використання методу заданих форм дозволило звести задачу визначення приєднаних мас рідини до розв’язання гіперсингулярних рівнянь на круговій області. Здійснено зведення двовимірних гіперсингулярних інтегральних рівнянь до одновимірних. Внутрішні  інтеграли при цьому набувають форму еліптичних інтегралів другого роду, що не мають особливостей. Для обчислення зовнішнього інтегралу, який існує лише в сенсі Адамара, запропоновано використати метод граничних елементів. Розроблено процедуру обчислення елементів матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомої густині потенціалу подвійного шару. Здійснено розв’язок гіперсингулярного рівняння  та наведено порівняння числових та аналітичних розв’язків. Праві частини гіперсингулярних інтегральних рівнянь є формами коливань жорстко закріпленої круглої пластини, які отримані аналітичним шляхом. Розроблено методику обчислення матриці приєднаних мас, що дозволило звести задачу, що розглядається, до розв’язання проблеми власних значень.