Норма власних функцій одновимірного фотонного кристала

Анотація

Актуальність. Останні десятиріччя (приблизно з 90-х років ХХ-го сторіччя) спостерігається стрімкий розвиток фотоніки. Звідси з’являється науковий інтерес до оптичного діапазону електромагнітного випромінювання. Сьогодні дифракційна задача про розсіяння електромагнітних хвиль на таких об’єктах як фотонні кристали представляться важливою задачею. Як відомо, ця задача може зводитися до розв’язання хвильового рівняння. Необхідність в обчисленні норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля, серед іншого, виникає при переході від однієї повної ортогональної системи до іншої повної ортогональної системи функцій при застосуванні методу розділення змінних, відповідно, для розв’язання зазначеного хвильового рівняння.

Мета роботи. Вказати на прямий підхід до обчислення норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала (тобто прямий підхід до обчислення норми передбачає безпосереднє інтегрування) та запропонувати методологічно інший підхід, в основі якого лежить граничний перехід у скалярному добутку, що відповідно задає дану норму.

Матеріали і методи. Граничний перехід при обчисленні норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала зустрічає труднощі, пов’язані з виникненням невизначеності виду . Таку невизначеність вдається дослідити за правилом Лопіталя. Своєю чергою, правило Лопіталя тягне необхідність у знаходженні похідної від розв’язку спектрального рівняння за спектральним параметром. На цьому шляху доводиться стикнутися з розв’язанням лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку.

Результати. Запропонована методика обчислення норми власних функцій проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала.

Висновки. На відміну від прямого підходу, запропонована методика дає можливість розуміти характер залежності шуканої норми від самої власної функції (в отриманому кінцевому виразі явно входить сама власна функція). Подальші роботи у зазначеному напрямку можуть спрямовуватися на спрощення кінцевого виразу для норми.