Двобічний ітераційний метод на основі використання функції Гріна в задачах чисельного аналізу деяких електромеханічних систем
DOI:
https://doi.org/10.26565/2304-6201-2022-55-02Ключові слова:
метод двобічних наближень, метод функцій Гріна, методи нелінійного аналізу, конусний відрізок, електромеханічна система, дія зовнішнього тиску, монотонний операторАнотація
Актуальність. У роботі розглядається задача чисельного аналізу нелінійної крайової задачі, що моделює електростатичну мікроелектромеханічну систему під дією зовнішнього тиску. Мікроелектромеханічні системи поєднують механічні та електричні компоненти мікронних розмірів та використовуються у автомобілебудуванні, авіації, медицині. Електростатична активація цих систем є ключовою для функціонування мікродзеркал, мікрорезонаторів, акселерометрів тощо. Основним обмеженням електростатичних мікроелектромеханічних систем є явище нестабільності відхиляння, що призводить до дестабілізації системи. Для нівелювання цих обмежень запропоновано дослідити параметри моделі та отримати їх оцінки.
Мета. За допомогою методів теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих просторах розробити метод двобічних наближень розв’язання поставленої задачі.
Методи дослідження. Математична модель електростатичної мікроелектромеханічної системи представлена нелінійним еліптичним рівнянням з оператором Лапласа та однорідною крайовою умовою першого роду. За допомогою методу функцій Гріна від цієї диференціальної задачі здійснюється перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке аналізується методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих просторах.
Результати. Досліджено властивості нелінійного оператора, яке входить до рівняння Гаммерштейна, отримано умови існування єдиного додатного розв'язку розглядуваної задачі та умови збіжності до нього двобічних наближень. Для запропонованого методу двобічних наближень також отримано апостеріорну оцінку похибки та оцінку кількості ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності.
Висновки. Робота та ефективність розробленого методу продемонстрована обчислювальними експериментами для тестової задачі у круговій області з різними значеннями параметрів моделі. Результати обчислювальних експериментів представлені у вигляді числової та графічної інформації.
Посилання
J. A. Pelesko, D. H. Bernstein Modeling MEMS and NEMS, Cleveland: CRC Press, 2002. 351 p.
A. H. Nayfeh, M. I. Younis “Reduced-order models for MEMS applications”, Nonlinear dynamics, vol. 41, no. 1, pp. 211-236, 2005.
M. V. Sidorov “Green-Rvachev’s quasi-function method for constructing two-sided approximations to positive solution of nonlinear boundary value problems”, Carpathian Mathematical Publications, vol. 10, no. 2, pp. 360-375, 2018.
J. A. Pelesko “Mathematical modeling of electrostatic MEMS with tailored dielectric properties”, SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 62, no. 3, pp. 888-908, 2002.
Y. Guo, Z. Pan and M. J. Ward “Touchdown and pull-in voltage behavior of a MEMS device with varying dielectric properties”, SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 66, no. 1, pp. 309-338, 2005.
P. Esposito, N. Ghoussoub and Y. Guo Mathematical analysis of partial differential equations modeling electrostatic MEMS, Providence: American Mathematical Society, 2010. 262 p.
F. Lin and Y. Yang “Nonlinear non-local elliptic equation modeling electrostatic actuation”, Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 463, no. 2081, pp. 1323-1337, 2007.
J. R. Beckham, J. A. Pelesko “An electrostatic-elastic membrane system with an external pressure”, Mathematical and computer modelling, vol. 54, no. 11-12, pp. 2686-2708, 2011.
Y. Guo, Y. Zhang and F. Zhou “Singular behavior of an electrostatic–elastic membrane system with an external pressure”, Nonlinear Analysis, vol. 190, pp. 111611, 2020.
O. S. Konchakovska, M. V. Sidorov “The two-sided method in numerical analysis of one microelectromechanical system”, Bulletin of V. Karazin Kharkiv National University. Series «Mathematical Modelling. Information Technology. Automated Control Systems, vol. 39, pp. 33-41, 2018 [in Ukrainian].
V. I. Opojtsev, T. A. Khurodze Nonlinear Operators in Spaces with a Cone, Tbilisi, USSR: Izdatel’stvo Tbilisskogo Universiteta, 1984. 246 p. [in Russian].
M. A. Krasnosel’skij Positive Solutions of Operator Equations. Moscow: Fizmatgiz, 1962. 394 p. [in Russian].
