Явний вигляд поверхні перемикання в задачі допустимого позиційного синтезу

Анотація

В цій статті розглядається проблема, пов'язана із задачею допустимого позиційного синтезу та методом функції керованості, а саме, з допустимим принципом максимуму. На відміну від більш звичого підходу, допустимий принцип максимуму дає розривний розв'язок задачі синтезу. Нехай задана канонічна керована система $\dot{x}_i=x_{i+1}, i=\overline{1,n-1}, \dot{x}_n=u$ з обмеженнями на керування вигляду $|u| \le d$. Задача синтезу для довільної лінійної системи вигляду $\dot{x} = A x + b u$ може бути зведена до канонічної. Функція керованості $\Theta(x)$ задана як єдиний додатний розв'язок деякого рівняння $\Phi(x, \Theta) = 0$. Керування обирається таким чином, щоб мінімізувати похідну функції $\Theta(x)$ за часом в кожній точці, і воно може бути записано у вигляді $u(x) = -d \text{ sign}(s(x,\Theta(x)))$. Множина точок, що задовольняє рівності $s(x,\Theta(x)) = 0$, називається поверхнею перемикання і визначає точки, де керування змінює свій знак. Зазвичай вона включає змінну $\Theta$, що є неявним розв'язком рівняння $\Phi(x, \Theta) = 0$. В цій роботі ми шукаємо явне представлення поверхні перемикання, тобто таке, що не включає зміної $\Theta$. В нашому випадку вирази $\Phi(x, \Theta)$ та $s(x, \Theta)$ є поліномами відносно $\Theta$, тому задача пов'язана з задачею знаходження умов при яких два поліноми мають спільний додатний корінь. Раніше було відомо рішення для 2-вимірного випадку. Але в ході дослідження з'ясувалося, що для систем більшої розмірності існують певні труднощі. У цій статті представлено та досліджено поверхню перемикання для тривимірного випадку. Також показано, що ця поверхня перемикання є поверхнею ковзання (згідно з визначенням Філіппова). В роботі також запропоновані інші способи побудови поверхні перемикання за допомогою інтерполяції та апроксимації. Ці способи застосовано для знаходження траєкторій конкретних початкових точок.